kaoyan1basic 高等数学 第578题
📝 题目
第578题
设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$
则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$q>1$
解析：由$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\frac{1}{a_n}}{\ln n}=q$，得$\ln a_n\sim -q\ln n$，即$a_n\sim n^{-q}$。正项级数$\sum a_n$收敛当且仅当$q>1$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解极限条件并转化为等价形式
由极限定义，当n→∞时，ln(1/a_n) ~ q ln n，即 -ln a_n ~ q ln n，因此 ln a_n ~ -q ln n，从而 a_n ~ n^{-q}。
公式：a_n ~ n^{-q}
提示：注意极限条件中q≠1，但最终结论与q=1无关。
步骤 2/2
目标：利用p级数判别法判断收敛性
正项级数∑ n^{-q} 收敛当且仅当 q > 1。由于a_n与n^{-q}等价，故∑ a_n收敛当且仅当q > 1。
公式：∑ n^{-q} 收敛 ⇔ q > 1
提示：等价无穷小比较判别法：若a_n ~ b_n，则∑ a_n与∑ b_n同敛散。
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