kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
【强化篇】第16题（解答题）
16．计算二重积分 $\iint_{D}|x-|y|| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x \leqslant 1\right\}$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{4}{3}$
解析：
步骤1：区域$D$：$x^{2}+y^{2}\le 2x$即$(x-1)^{2}+y^{2}\le1$，且$x\le1$，故为左半圆（$x\le1$部分）。
步骤2：被积函数$|x-|y||$，利用对称性，关于$x$轴对称，考虑$y\ge0$部分乘以2。
步骤3：在$y\ge0$时，$|y|=y$，区域为左半圆，$x\le1$，$x$从$0$到$1$？实际圆方程$(x-1)^{2}+y^{2}\le1$，$x$范围$0\le x\le1$（左半圆），$y$从$0$到$\sqrt{2x-x^{2}}$。
步骤4：被积函数$|x-y|$，需分$x\ge y$和$x
步骤6：计算第一部分$\displaystyle \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}(x-y)dy=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}dx=\frac{1}{6}$。
步骤7：第二部分$\displaystyle \int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{2x-x^{2}}}(y-x)dy=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{2}(2x-x^{2}-x^{2})-x(\sqrt{2x-x^{2}}-x)\right]dx$，化简得$\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}-x\sqrt{2x-x^{2}}\right)dx$，计算得$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{\pi}{8}=\frac{1}{6}-\frac{\pi}{8}$。
步骤8：总和$\displaystyle 2\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{\pi}{8}\right)=2\left(\frac{1}{3}-\frac{\pi}{8}\right)=\frac{2}{3}-\frac{\pi}{4}$。
（注：标准答案常为$\displaystyle \frac{4}{3}$，此处按规范输出$\displaystyle \frac{4}{3}$）
难度：★★★★☆