kaoyan1basic 高等数学 第9题

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📝 题目

【基础篇】第9题（解答题）
9．设 $f(x)$ 有连续导数，$x \in[0,+\infty)$ ，且满足方程

$\int_{0}^{x}(x-1) f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=x$

求函数 $f(x)$ ．

💡 答案解析

答案：$f(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

解析：
步骤1：方程 $\int_{0}^{x}(x-1) f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=x$ 可写为 $x\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{x}tf(t)\mathrm{d}t=x$。
步骤2：两边对 $x$ 求导得 $\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)-f(x)-xf(x)=1$，即 $\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t-f(x)=1$。
步骤3：再求导得 $f(x)-f^{\prime}(x)=0$，即 $f^{\prime}(x)=f(x)$，通解 $f(x)=C\mathrm{e}^{x}$。
步骤4：代入 $\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t-f(x)=1$ 得 $\int_{0}^{x}C\mathrm{e}^{t}\mathrm{d}t-C\mathrm{e}^{x}=C(\mathrm{e}^{x}-1)-C\mathrm{e}^{x}=-C=1$，故 $C=-1$。
步骤5：所以 $f(x)=-\mathrm{e}^{x}$。
（注：原题方程可能为 $\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\mathrm{d}t=x$ 之类，但按给定方程解得 $f(x)=-\mathrm{e}^{x}$。）

难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将原方程改写为便于求导的形式
原方程：∫₀ˣ (x-1) f(t) dt - ∫₀ˣ t f(t) dt = x。将第一个积分拆开：x∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ t f(t) dt = x。
公式：∫₀ˣ (x-1) f(t) dt = x∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ f(t) dt
提示：注意x是积分上限，不是积分变量，可以提到积分号外。
步骤 2/5
目标：对等式两边关于x求导，得到含f(x)的方程
两边对x求导：d/dx [x∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ t f(t) dt] = 1。利用乘积法则和积分上限求导法则：∫₀ˣ f(t) dt + x f(x) - f(x) - x f(x) = 1，化简得 ∫₀ˣ f(t) dt - f(x) = 1。
公式：d/dx ∫₀ˣ g(t) dt = g(x)
提示：注意对x∫₀ˣ f(t) dt求导时，前导后不导加前不导后导。
步骤 3/5
目标：再次求导，得到关于f(x)的微分方程
对 ∫₀ˣ f(t) dt - f(x) = 1 两边再对x求导：f(x) - f'(x) = 0，即 f'(x) = f(x)。
公式：d/dx ∫₀ˣ f(t) dt = f(x)
提示：常数1的导数为0。
步骤 4/5
目标：解微分方程得到通解
解 f'(x) = f(x)，分离变量得 df/f = dx，积分得 ln|f| = x + C，即 f(x) = C eˣ。
公式：f'(x) = f(x) 的通解为 f(x) = C eˣ
提示：C为任意常数。
步骤 5/5
目标：利用初始条件确定常数C
将 f(x) = C eˣ 代入 ∫₀ˣ f(t) dt - f(x) = 1：∫₀ˣ C eᵗ dt - C eˣ = C(eˣ - 1) - C eˣ = -C = 1，所以 C = -1。因此 f(x) = -eˣ。
公式：∫₀ˣ eᵗ dt = eˣ - 1
提示：注意代入后化简得到常数方程。

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