kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
【基础篇】第1题（选择题）
1．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ ，则＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{c_{n}}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{b_{n}}$ 均收敛＂是＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛＂的（ ）。
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
答案：B
解析：取$a_n = 1, b_n = n^2, c_n = n$，则$\displaystyle \sum \frac{a_n}{c_n} = \sum \frac{1}{n}$发散，但$\displaystyle \sum \frac{a_n}{b_n} = \sum \frac{1}{n^2}$收敛，说明条件非必要。若$\displaystyle \sum \frac{a_n}{c_n}$与$\displaystyle \sum \frac{c_n}{b_n}$均收敛，由比较判别法，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_n}{c_n} \cdot \frac{c_n}{b_n}$，且$\displaystyle \frac{a_n}{c_n}$和$\displaystyle \frac{c_n}{b_n}$均为有界量，故$\displaystyle \sum \frac{a_n}{b_n}$收敛，条件是充分的。因此为充分非必要条件。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断充分性：若∑(a_n/c_n)和∑(c_n/b_n)均收敛，则∑(a_n/b_n)收敛。
由于a_n, b_n, c_n均为正项数列，且∑(a_n/c_n)和∑(c_n/b_n)收敛，则通项a_n/c_n和c_n/b_n趋于0，从而有界。由比较判别法，a_n/b_n = (a_n/c_n)*(c_n/b_n) ≤ M*(c_n/b_n)（或类似有界乘积），故∑(a_n/b_n)收敛。
公式：a_n/b_n = (a_n/c_n)*(c_n/b_n)
提示：利用收敛级数的通项有界性及比较判别法。
步骤 2/3
目标：判断必要性：若∑(a_n/b_n)收敛，是否必有∑(a_n/c_n)和∑(c_n/b_n)收敛？
举反例：取a_n=1, b_n=n^2, c_n=n，则∑(a_n/b_n)=∑1/n^2收敛，但∑(a_n/c_n)=∑1/n发散，故条件非必要。
提示：构造反例时，让c_n介于a_n和b_n之间，使得一个级数发散。
步骤 3/3
目标：综合结论：充分非必要条件。
由步骤1知充分性成立，由步骤2知必要性不成立，故选B。
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