kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
【强化篇】第7题（解答题）
7．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\mathrm{e}_{n}-\mathrm{e}^{-a_{n}}=a_{n}\left(\mathrm{e}_{n}+\mathrm{e}^{-b_{n}}\right), 0
证明：（1）$a_{n}>b_{n}, n=1,2, \cdots$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)$ 收敛。
证明：（1）$a_{n}>b_{n}, n=1,2, \cdots$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)$ 收敛。
💡 答案解析
答案：（1）略；（2）略
解析：（1）由条件$e^{a_n} - e^{-a_n} = a_n(e^{b_n} + e^{-b_n})$，即$2\sinh a_n = 2a_n \cosh b_n$，故$\sinh a_n = a_n \cosh b_n$。由于$a_n>0$，$\cosh b_n \ge 1$，且$\cosh b_n = 1$当且仅当$b_n=0$，但$b_n>0$，故$\cosh b_n > 1$。于是$\sinh a_n > a_n$，而$\sinh x > x$对$x>0$成立，故$a_n > b_n$（因为若$a_n \le b_n$，则$\sinh a_n \le \sinh b_n$，但由方程$\sinh a_n = a_n \cosh b_n > a_n$，矛盾）。严格证明：考虑函数$f(x)=\sinh x - x\cosh b_n$，$f(0)=0$，$f'(x)=\cosh x - \cosh b_n$，当$x
（2）由(1)知$b_n - a_n < 0$，且$\sum b_n$收敛，故$b_n\to 0$。由方程$\sinh a_n = a_n \cosh b_n$，当$b_n\to 0$时，$\cosh b_n \sim 1 + b_n^2/2$，$\sinh a_n \sim a_n + a_n^3/6$，代入得$a_n + a_n^3/6 \sim a_n(1+b_n^2/2)$，即$a_n^3/6 \sim a_n b_n^2/2$，故$a_n^2 \sim 3b_n^2$，即$a_n \sim \sqrt{3} b_n$。于是$b_n - a_n \sim (1-\sqrt{3})b_n$，由于$\sum b_n$收敛，故$\sum (b_n - a_n)$收敛（绝对收敛）。
难度：★★★★★