kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
【基础篇】第16题（解答题）
16．已知 $f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ．
（1）将 $f(x)$ 展开成余弦级数；
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．
💡 答案解析
答案：
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$，$x\in[-\pi,\pi]$。
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。
解析：
步骤1：余弦级数展开。$f(x)=|x|$为偶函数，$b_n=0$。$\displaystyle a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}xdx=\pi$。$\displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx dx=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}$。故$a_{2k}=0$，$\displaystyle a_{2k-1}=-\frac{4}{\pi(2k-1)^2}$。所以$\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$。
步骤2：求数项级数和。令$x=0$，则$\displaystyle f(0)=0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}$，解得$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。
难度：★★★☆☆