kaoyan1basic 高等数学 第27题

好的，我们先逐步分析题目中的函数，然后证明它满足微分方程，并验证极限条件。我们先从定义域开始。

---

第一步：确定定义域

函数为
$$
f(x)=x\ln x+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+1)\cdot (n+1)!}
$$

- 第一项 $x\ln x$ 要求 $x>0$，因为对数只在正数有定义，并且当 $x=0$ 时无定义。
- 第二项是幂级数。我们来看它的收敛半径。通项为
$$
a_n = \frac{1}{(n+1)(n+1)!}
$$
但这里变量是 $x^{n+2}$，所以相当于系数是 $\frac{1}{(n+1)(n+1)!}$。
用比值法：
$$
\frac{|a_{n+1}x^{n+3}|}{|a_n x^{n+2}|}
= \frac{ \frac{1}{(n+2)(n+2)!} |x|^{n+3} }{ \frac{1}{(n+1)(n+1)!} |x|^{n+2} }
= \frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n+2)!} |x|
= \frac{n+1}{(n+2)^2} \cdot \frac{|x|}{n+2?}
$$
我们仔细算一下：
$$
\frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{1}{n+2}
$$
所以比值是
$$
\frac{n+1}{(n+2)^2} |x| \to 0 \quad (n\to\infty)
$$
对任意固定的 $x$，极限为0，因此收敛半径是无穷大。所以级数部分对所有实数 $x$ 都收敛。

因此定义域由第一项决定：
$$
\boxed{(0,+\infty)}
$$

---

第二步：证明满足微分方程

我们要证
$$
x y' - y = x e^x
$$

先求导。设
$$
y = x\ln x + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!}
$$

对第一项求导：
$$
\frac{d}{dx}(x\ln x) = \ln x + 1
$$

对级数项逐项求导（因为一致收敛性在收敛区间内成立）：
$$
\frac{d}{dx} \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!}
= \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)(n+1)!}
$$

所以
$$
y' = \ln x + 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)(n+1)!}
$$

现在计算 $x y' - y$：

$$
x y' = x\ln x + x + \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!}
$$

减去 $y = x\ln x + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!}$，得到：

- $x\ln x$ 抵消。
- 剩下 $x$ 项单独保留。
- 级数部分：
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2) - 1}{(n+1)(n+1)!} x^{n+2}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{(n+1)(n+1)!} x^{n+2}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)!}
$$

将指数改写：令 $m=n+1$，则 $n=m-1$，当 $n=0$ 时 $m=1$，
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)!} = \sum_{m=1}^\infty \frac{x^{m+1}}{m!}
= x \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m!}
= x(e^x - 1)
$$

于是
$$
x y' - y = x + x(e^x - 1) = x e^x
$$

这正是要证的方程。

---

第三步：验证极限

当 $x\to 0^+$ 时：

- $x\ln x \to 0$（这是经典极限）。
- 级数部分：首项 $n=0$ 为 $\frac{x^2}{1\cdot 1!}=x^2$，后面都是更高次项，因此和趋于0。

所以
$$
\lim_{x\to 0^+} y(x) = 0
$$

---

最终答案：

$$
\boxed{(0,+\infty)}
$$
且已证明满足微分方程及极限条件。