kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
【基础篇】第10题（解答题）
10．设 $\sum$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3 y^{2}-3 z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分
I=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{3}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
解析：
步骤1：曲面$\Sigma: x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$，前侧法向量指向$x$正向。
步骤2：补平面$S: x=0$（后侧），与$\Sigma$构成封闭曲面，用Gauss公式。
步骤3：计算三重积分$\iiint_\Omega (0+3x^2+2z)dV$，其中$\Omega$为椭球体$3y^2+3z^2+x^2\leq 1$，$x\geq 0$。利用对称性得$\displaystyle \frac{\pi}{6}$。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。