kaoyan1basic 高等数学 第28题

好的，我们先来仔细分析题目，然后一步步推导出答案。题目中给的是一个半球面，并涉及外法线方向与坐标轴的夹角，最后要计算一个曲面积分。我们先明确已知条件。

第一步：理解曲面与方向
曲面 Σ 是
$$
z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}
$$
这是上半球面，半径为 1，球心在原点。
“外法线”是指从曲面指向球外部的法线方向。对于上半球面，外法线方向是沿径向向外的，即与位置向量 (x, y, z) 同向。

第二步：角度 α 和 β 的含义
α 是外法线与 x 轴正向的夹角，β 是外法线与 z 轴正向的夹角。
因为外法线方向就是 (x, y, z) 方向（因为球心在原点），所以方向余弦为：
$$
\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = x
$$
$$
\cos\beta = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = z
$$
这里注意，在球面上有 $x^2+y^2+z^2=1$，所以分母为1。

第三步：被积函数化简
被积函数是
$$
|xy|\cos\alpha + z^2 \cos\beta
$$
代入方向余弦：
$$
= |xy| \cdot x + z^2 \cdot z = x|xy| + z^3
$$
所以曲面积分变为
$$
\iint_{\Sigma} \left( x|xy| + z^3 \right) dS
$$

第四步：利用对称性化简
我们先看第一项 $x|xy|$。
在 Σ 上，x 和 y 的取值范围对称，且被积函数关于 x 是奇函数（因为 x 是奇，|xy| 是偶，乘积是奇函数），而半球面关于 yz 平面对称，因此这一项积分为 0。

于是只剩下
$$
\iint_{\Sigma} z^3 \, dS
$$

**第五步：计算 $\iint_{\Sigma} z^3 dS$**
上半球面参数化：
$$
z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}
$$
面积元公式：对于显式曲面 $z=f(x,y)$，有
$$
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\, dxdy
$$
这里
$$
f_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \quad f_y = \frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}
$$
所以
$$
1+f_x^2+f_y^2 = 1 + \frac{x^2+y^2}{1-x^2-y^2} = \frac{1}{1-x^2-y^2}
$$
因此
$$
dS = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, dxdy
$$
于是
$$
z^3 dS = (1-x^2-y^2)^{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dxdy = (1-x^2-y^2)\, dxdy
$$
积分区域是单位圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。

第六步：极坐标计算
令 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则
$$
\iint_{\Sigma} z^3 dS = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1-r^2)\, r\, dr
$$
先算内层：
$$
\int_0^1 (r - r^3) dr = \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac12 - \frac14 = \frac14
$$
再乘上 $2\pi$ 得 $\frac{\pi}{2}$。

所以最终答案是
$$
\boxed{\frac{\pi}{2}}
$$

难度：★★☆☆☆ （需要理解方向余弦与对称性，但计算不复杂）

答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：利用外法线方向与位置向量同向得到方向余弦，代入化简后由对称性消去奇函数项，剩余部分用极坐标积分得到结果。
难度：★★☆☆☆