kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
【基础篇】第2题（选择题）
2．对于任意事件 $A$ ，＂$P(A)=P(\bar{A})$＂是＂$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^{2}$＂的 ．
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：由$P(A)=P(\bar{A})$，得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$。
步骤2：代入$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$，得$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$成立，故充分。
步骤3：由$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$，解得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$，但$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$不能推出$P(A)=P(\bar{A})$（因为$\displaystyle P(\bar{A})=\frac{1}{2}$，故可推出），实际上$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$等价于$P(A)=P(\bar{A})$，因此是充要条件。重新判断：由$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$得$\displaystyle [P(A)-\frac{1}{2}]^2=0$，即$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$，而$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$等价于$P(A)=P(\bar{A})$，故为充要条件。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：推导充分性
由 P(A)=P(Ā) 及 P(A)+P(Ā)=1，得 2P(A)=1，即 P(A)=1/2。代入 P(A)=1/4+[P(A)]^2，左边=1/2，右边=1/4+1/4=1/2，等式成立，故充分性成立。
公式：P(A)+P(Ā)=1
提示：注意利用概率的互补性质。
步骤 2/2
目标：推导必要性
由 P(A)=1/4+[P(A)]^2，整理得 [P(A)]^2 - P(A) + 1/4 = 0，即 [P(A)-1/2]^2=0，解得 P(A)=1/2。又 P(Ā)=1-P(A)=1/2，故 P(A)=P(Ā)，必要性成立。
公式：P(A)=1/4+[P(A)]^2 ⇒ [P(A)-1/2]^2=0 ⇒ P(A)=1/2
提示：解二次方程时注意完全平方公式。
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