kaoyan1basic 概率论与数理统计 第14题
📝 题目
【基础篇】第14题（解答题）
14．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 00, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
（1）求 $a$ 的值；
（2）若 $Z=2 X+a Y$ ，求 $Z$ 的概率密度．
（1）求 $a$ 的值；
（2）若 $Z=2 X+a Y$ ，求 $Z$ 的概率密度．
## 第3章 一维随机变量函数的分布
💡 答案解析
答案：（1）$a=-1$；（2）$f_Z(z)=\begin{cases}1-\mathrm{e}^{-z}, & 0
（1）由概率密度归一性：$\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{a y} dy = 1$，得 $\displaystyle -\frac{1}{a}=1$，故 $a=-1$。
（2）$Z=2X-Y$，$X$与$Y$独立。先求$Z$的分布函数$F_Z(z)=P(2X-Y\le z)$。对$z$分段讨论：
当$z<0$时，$F_Z(z)=0$；
当$0\le z<1$时，$F_Z(z)=\int_0^z dx \int_{2x-z}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y}dy + \int_z^1 dx \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y}dy = z - \mathrm{e}^{-z} + 1$；
当$z\ge1$时，$F_Z(z)=\int_0^1 dx \int_{2x-z}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y}dy = 1 - \mathrm{e}^{-z}(\mathrm{e}-1)$。
求导得概率密度如上。
难度：★★★☆☆
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