kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
【强化篇】第2题（填空题）
2．设 $X \sim U(0,1)$ ，则 $Y=X^{\ln X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{y\sqrt{-\ln y}}, & 0
$X\sim U(0,1)$，$Y=X^{\ln X}=\mathrm{e}^{\ln X \cdot \ln X}=\mathrm{e}^{(\ln X)^2}$。令$t=\ln X$，则$X=\mathrm{e}^t$，$t<0$，$Y=\mathrm{e}^{t^2}$。
$Y$的分布函数$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\mathrm{e}^{t^2}\le y)=P(t\le -\sqrt{\ln y})$（因$t<0$）。
$P(t\le u)=P(\ln X\le u)=P(X\le \mathrm{e}^u)=\mathrm{e}^u$（$u<0$）。故$F_Y(y)=\mathrm{e}^{-\sqrt{\ln y}}$，求导得$\displaystyle f_Y(y)=\frac{1}{y\sqrt{-\ln y}}$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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