kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题

教材习题

📝 题目

【基础篇】第8题（解答题）
8．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=A \mathrm{e}^{x(B-x)}(-\infty（1）常数 $A, B$ 的值；
（2）$E\left(X^{2}+e^{X}\right)$ 的值；
（3）$Y=|\sqrt{2}(X-1)|$ 的分布函数 $F(y)$ ．

💡 答案解析

答案：（1）$\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，$B=2$；（2）$\displaystyle E(X^2+e^X)=\frac52+\mathrm{e}^{3/2}$；（3）$F(y)=\begin{cases}0, & y<0 \\ 2\Phi(y)-1, & y\ge0\end{cases}$
解析：
（1）$f(x)=A\mathrm{e}^{x(B-x)}=A\mathrm{e}^{-x^2+Bx}=A\mathrm{e}^{-(x-B/2)^2+B^2/4}$，此为正态分布$\displaystyle N(\frac{B}{2},\frac12)$的密度，故$\displaystyle \frac{B}{2}=E(X)$，$\displaystyle \frac12=D(X)$。由$E(X)=2D(X)$得$\displaystyle \frac{B}{2}=1$，$B=2$。归一化系数$\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$。
（2）$\displaystyle X\sim N(1,\frac12)$，$\displaystyle E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\frac12+1=\frac32$，$\displaystyle E(e^X)=\mathrm{e}^{E(X)+\frac{D(X)}{2}}=\mathrm{e}^{1+\frac14}=\mathrm{e}^{5/4}$，故和为$\displaystyle \frac32+\mathrm{e}^{5/4}$。
（3）$Y=|\sqrt{2}(X-1)|$，令$Z=\sqrt{2}(X-1)\sim N(0,1)$，则$Y=|Z|$，分布函数$F(y)=P(|Z|\le y)=2\Phi(y)-1$（$y\ge0$）。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定概率密度函数为正态分布形式
将f(x)写为Ae^{-(x-B/2)^2 + B^2/4}，识别出X服从正态分布N(B/2, 1/2)。
公式：f(x)=Ae^{-(x-B/2)^2 + B^2/4}
提示：通过配方将指数化为完全平方形式，便于识别分布。
步骤 2/5
目标：利用E(X)=2D(X)求B
由正态分布性质，E(X)=B/2，D(X)=1/2，代入E(X)=2D(X)得B/2=1，解得B=2。
公式：E(X)=B/2, D(X)=1/2, E(X)=2D(X)
提示：注意正态分布参数与均值、方差的关系。
步骤 3/5
目标：利用归一化条件求A
正态分布N(1,1/2)的密度系数为1/(√(2π)*σ)=1/(√(2π)*1/√2)=1/√π，故A=1/√π。
公式：A=1/(√(2π)σ), σ=1/√2
提示：归一化系数可直接由正态分布公式得出。
步骤 4/5
目标：计算E(X^2+e^X)
E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1/2+1=3/2；E(e^X)=e^{E(X)+D(X)/2}=e^{1+1/4}=e^{5/4}；和为3/2+e^{5/4}。
公式：E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2, E(e^X)=e^{μ+σ^2/2}
提示：注意指数期望公式适用于正态分布。
步骤 5/5
目标：求Y的分布函数
令Z=√2(X-1)~N(0,1)，则Y=|Z|。当y<0时F(y)=0；当y≥0时F(y)=P(|Z|≤y)=2Φ(y)-1。
公式：Y=|Z|, F(y)=2Φ(y)-1 (y≥0)
提示：利用标准正态分布函数Φ表示。

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