kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题

教材习题

📝 题目

【基础篇】第10题（选择题）
10．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且都服从参数为 1 的指数分布．若

Z= \begin{cases}2 X, & X \geqslant Y \\ Y-1, & X<Y\end{cases}

则 $E(Z)=$ ．
（A）$\displaystyle \frac{2}{7}$
（B）$\displaystyle \frac{7}{2}$
（C）$\displaystyle \frac{7}{4}$
（D）$\displaystyle \frac{4}{7}$

💡 答案解析

答案：C
解析：
$X,Y\sim E(1)$独立，联合密度$f(x,y)=\mathrm{e}^{-x-y}$。
$E(Z)=\iint_{x\ge y}2x\mathrm{e}^{-x-y}dxdy+\iint_{x第一项：$\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-y}dy\int_y^\infty 2x\mathrm{e}^{-x}dx=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-y}\cdot2(y+1)\mathrm{e}^{-y}dy=2\int_0^\infty (y+1)\mathrm{e}^{-2y}dy=2(\frac14+\frac12)=\frac32$。
第二项：$\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}dx\int_x^\infty (y-1)\mathrm{e}^{-y}dy=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}\cdot x\mathrm{e}^{-x}dx=\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-2x}dx=\frac14$。
总和$\displaystyle E(Z)=\frac32+\frac14=\frac74$。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出联合概率密度函数
由于X和Y独立同分布，且都服从参数为1的指数分布，所以联合概率密度函数为f(x,y)=e^{-x-y}，其中x>0, y>0。
公式：f(x,y)=e^{-x-y}, x>0, y>0
提示：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^{-λx}，这里λ=1。
步骤 2/5
目标：根据Z的定义分段计算期望
E(Z)=∬_{x≥y} 2x e^{-x-y} dxdy + ∬_{x
公式：E(Z)=∬_{x≥y} 2x f(x,y) dxdy + ∬_{x
提示：注意积分区域的分段条件。
步骤 3/5
目标：计算第一项积分
第一项：∫_{0}^{∞} e^{-y} dy ∫_{y}^{∞} 2x e^{-x} dx。先计算内层积分：∫_{y}^{∞} 2x e^{-x} dx = 2(y+1)e^{-y}。然后外层积分：∫_{0}^{∞} e^{-y} * 2(y+1)e^{-y} dy = 2∫_{0}^{∞} (y+1)e^{-2y} dy = 2(1/4 + 1/2) = 3/2。
公式：∫_{y}^{∞} 2x e^{-x} dx = 2(y+1)e^{-y}; ∫_{0}^{∞} (y+1)e^{-2y} dy = 1/4 + 1/2 = 3/4
提示：使用分部积分或已知公式∫_{a}^{∞} x e^{-x} dx = (a+1)e^{-a}。
步骤 4/5
目标：计算第二项积分
第二项：∫_{0}^{∞} e^{-x} dx ∫_{x}^{∞} (y-1)e^{-y} dy。先计算内层积分：∫_{x}^{∞} (y-1)e^{-y} dy = x e^{-x}。然后外层积分：∫_{0}^{∞} e^{-x} * x e^{-x} dx = ∫_{0}^{∞} x e^{-2x} dx = 1/4。
公式：∫_{x}^{∞} (y-1)e^{-y} dy = x e^{-x}; ∫_{0}^{∞} x e^{-2x} dx = 1/4
提示：内层积分可用分部积分或直接计算。
步骤 5/5
目标：求和得到期望
E(Z)=3/2 + 1/4 = 7/4。
公式：E(Z)=7/4
提示：注意分数相加。

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