kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
【强化篇】第6题（解答题）
6．设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$ ，已知条件概率密度 $\displaystyle f_{X \mid Y}(x \mid y)= A \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^{2}}$ 和 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)=B \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^{2}}$ 。求：
（1）常数 $A$ 和 $B$ ；
（2）边缘概率密度 $f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ ；
（3）$f(x, y)$ ．
## 第5章 大数定律与中心极限定理
💡 答案解析
好的，我们先把题目中的信息整理一下，然后一步步推理计算。这道题是关于二维正态分布的条件密度形式，我们要利用正态分布的性质来反推参数。
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第一步：分析条件密度形式
已知
$$
f_{X\mid Y}(x\mid y)=A e^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2}
$$
这是一个关于 $x$ 的函数，且指数部分是二次型，显然它是正态分布的形式。
一般地，一维正态分布的概率密度为
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
对比可知，这里的指数部分为
$$
-\frac{(x - \frac{y}{2})^2}{2\cdot \frac{3}{4}}
$$
因为
$$
-\frac{2}{3}(x-\frac{y}{2})^2 = -\frac{(x-\frac{y}{2})^2}{2\cdot \frac{3}{4}}
$$
所以条件方差为
$$
\sigma_{X\mid Y}^2 = \frac{3}{4}
$$
于是归一化常数应为
$$
A = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3\pi}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3\pi}}
$$
同理，对于
$$
f_{Y\mid X}(y\mid x)=B e^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^2}
$$
指数部分同样对应方差 $\frac{3}{4}$，所以
$$
B = \sqrt{\frac{2}{3\pi}}
$$
因此第一问答案：
$$
\boxed{A = \sqrt{\frac{2}{3\pi}},\quad B = \sqrt{\frac{2}{3\pi}}}
$$
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第二步：利用条件密度反推联合分布与边缘分布
二维正态分布的条件期望公式为：
$$
E[X\mid Y=y] = \mu_X + \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(y-\mu_Y)
$$
而我们已知的条件期望是 $\frac{y}{2}$，这意味着
$$
\mu_X - \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\mu_Y = 0,\quad \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = \frac12
$$
同理，从 $E[Y\mid X=x] = \frac{x}{2}$ 可得
$$
\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = \frac12
$$
将这两个式子相乘得到：
$$
\rho^2 = \frac14 \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac12 \quad (\text{正相关，因为条件期望系数为正})
$$
再代入第二个式子：
$$
\frac12 \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = \frac12 \quad\Rightarrow\quad \sigma_Y = \sigma_X
$$
再由第一个式子：
$$
\frac12 \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = \frac12 \quad\text{自动满足}
$$
于是我们得到 $\sigma_X = \sigma_Y$，记共同标准差为 $\sigma$。
条件方差公式为：
$$
\text{Var}(X\mid Y=y) = \sigma_X^2 (1-\rho^2) = \sigma^2\left(1-\frac14\right) = \frac34\sigma^2
$$
但我们已经从条件密度知道条件方差是 $\frac34$，所以
$$
\frac34\sigma^2 = \frac34 \quad\Rightarrow\quad \sigma^2 = 1
$$
因此 $\sigma_X=\sigma_Y=1$，且 $\mu_X,\mu_Y$ 目前还不知道，但从条件期望公式看，如果 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$ 不为零，则条件期望会有一个常数项，但这里条件期望是 $\frac{y}{2}$ 没有常数项，所以必须有
$$
\mu_X - \frac12\mu_Y = 0,\quad \mu_Y - \frac12\mu_X = 0
$$
解得 $\mu_X = \mu_Y = 0$。
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第三步：写出边缘密度
由于是标准正态（均值为0，方差为1），所以
$$
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}},\quad f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}
$$
第二问答案：
$$
\boxed{f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\quad f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}}
$$
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第四步：联合密度函数
二维正态联合密度公式为（$\mu_X=\mu_Y=0,\sigma_X=\sigma_Y=1,\rho=1/2$）：
$$
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(x^2 - 2\rho xy + y^2\right)\right)
$$
代入 $\rho=1/2$，得 $1-\rho^2 = 3/4$，$\sqrt{1-\rho^2}=\sqrt{3}/2$，于是
$$
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2\cdot\frac34}\left(x^2 - xy + y^2\right)\right)
$$
化简：
$$
f(x,y)=\frac{1}{\pi\sqrt{3}}\exp\left(-\frac{2}{3}(x^2 - xy + y^2)\right)
$$
第三问答案：
$$
\boxed{f(x,y)=\frac{1}{\pi\sqrt{3}} e^{-\frac{2}{3}(x^2 - xy + y^2)}}
$$
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最终答案汇总：
1. $A = B = \sqrt{\frac{2}{3\pi}}$
2. $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\ f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$
3. $f(x,y)=\frac{1}{\pi\sqrt{3}}e^{-\frac{2}{3}(x^2-xy+y^2)}$