kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
【强化篇】第9题（解答题）
9．设二维随机变量 $(U, V)$ 在以点 $(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$ 为顶点的四边形$D$ 上噉从均匀分布，令
X=\left\{\begin{array}{ll}
-1, & U \leqslant-1, \\
1, & U>-1,
$\displaystyle \end{array} Y= \begin{cases}-1, & V<\frac{1}{2} \\$
1, & V>\frac{1}{2}\end{cases}\right.
（1）求 $(X, Y)$ 的分布律；
（2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ；
（3）求 $V$ 的边缘概率密度．
💡 答案解析
答案：
（1）$(X,Y)$分布律：$\displaystyle P(X=-1,Y=-1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=-1,Y=1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=1,Y=-1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}$
（2）$\rho_{XY}=0$
（3）$\displaystyle f_V(v)=\begin{cases}\frac{1}{2}(1-|v|), & |v|\leqslant1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$
解析：
步骤1：四边形顶点$(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$，面积$S=4$，联合密度$\displaystyle f(u,v)=\frac{1}{4}$。根据$U,V$范围划分区域求概率。
步骤2：$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$E(XY)=0$，故$\rho_{XY}=0$。
步骤3：$V$的边缘密度通过积分$f_V(v)=\int f(u,v)du$得到。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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