kaoyan1basic 概率论与数理统计 第12题

教材习题

📝 题目

【基础篇】第12题（解答题）
12．设连续型总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)= \begin{cases}0, & x \leqslant 0, \\ x^{\sqrt{\theta}}, & 00, \\ 1, & x \geqslant 1,\end{cases} X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．求 $\theta$ 的矩估计量与最大似然估计量．

💡 答案解析

答案：
矩估计量：$\displaystyle \hat\theta=\left(\frac{1}{\bar{X}}\right)^2$ 或 $\displaystyle \hat\theta=\frac{1}{\bar{X}^2}$
最大似然估计量：$\displaystyle \hat\theta=\left(-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}\right)^2$

解析：
(1) 由$F(x)=x^{\sqrt{\theta}}$，$0(2) 似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n \sqrt{\theta}x_i^{\sqrt{\theta}-1}=\theta^{n/2}\left(\prod x_i\right)^{\sqrt{\theta}-1}$。取对数$\displaystyle \ln L=\frac{n}{2}\ln\theta+(\sqrt{\theta}-1)\sum\ln x_i$。令$t=\sqrt{\theta}$，则$\displaystyle \ln L=\frac{n}{2}\ln t^2+(t-1)\sum\ln x_i=n\ln t+(t-1)\sum\ln x_i$。求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{dt}=\frac{n}{t}+\sum\ln x_i=0$，得$\displaystyle t=-\frac{n}{\sum\ln x_i}$，故$\displaystyle \hat\theta=t^2=\left(-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}\right)^2$。

难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求矩估计量
由分布函数求导得概率密度函数 f(x) = √θ x^{√θ-1}, 0
公式：E(X) = √θ/(√θ+1), X̄ = (1/n)∑X_i
提示：注意分布函数形式，先求导得密度函数，再计算期望。
步骤 2/2
目标：求最大似然估计量
似然函数 L(θ) = ∏ f(x_i) = θ^{n/2} (∏ x_i)^{√θ-1}。取对数 ln L = (n/2)lnθ + (√θ-1)∑ln x_i。令 t=√θ，则 ln L = n ln t + (t-1)∑ln x_i。对 t 求导得 d ln L/dt = n/t + ∑ln x_i = 0，解得 t = -n/∑ln x_i，故 θ̂ = t^2 = (-n/∑ln X_i)^2。
公式：L(θ) = θ^{n/2} (∏ x_i)^{√θ-1}, ln L = n ln t + (t-1)∑ln x_i
提示：取对数后令 t=√θ 简化求导，注意 ln x_i 为负，确保 t>0。

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