kaoyan1basic 概率论与数理统计 第14题

教材习题

📝 题目

【强化篇】第14题（解答题）
14．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0（1）求 $\displaystyle P\left\{\left.\frac{1}{2}（2）判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性，并给出理由；
（3）令随机变量 $Z=X-Y$ ，求 $f_{Z}(z)$ 。

💡 答案解析

答案：（1）$\displaystyle \frac{3}{4}$；（2）不独立，不相关；（3）$\displaystyle f_Z(z)=\begin{cases} \frac{1}{2}(1+z)^2, & -1解析：步骤1：$f_X(x)=2x$，$0步骤2：$E(Y|X=x)=0$，故$E(Y)=E[E(Y|X)]=0$。$\displaystyle P\left(\frac{1}{2}步骤3：$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=2x\cdot\frac{1}{2x}=1$，$0步骤4：$Z=X-Y$，用卷积公式。$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_{Y|X}(z-x|x)dx$，注意$00$。当$z>0$时，$x>z/2$且$x<1$，$\displaystyle f_Z(z)=\int_{z/2}^1 1\cdot\frac{1}{2x}dx$？需重新推导：$f_{X,Y}(x,y)=1$，区域$0Z/2$。$\displaystyle f_Z(z)=\int_{x=\max(z/2,0)}^{1} 1\cdot\frac{1}{|-1|}dx=\int_{z/2}^1 dx=1-\frac{z}{2}$，$0难度：★★★★☆

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