kaoyan1basic 概率论与数理统计 第22题
📝 题目
【强化篇】第22题（解答题）
22．设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
f(x, y)= \begin{cases}a x^{2} y, & x^{2} \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
（1）求 $a$ 的值；
（2）求 $Z=X^{2} Y$ 的概率密度；
（3）求 $\displaystyle E\left(Y \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right)$ 。
## 第7章 大数定律与中心极限定理
💡 答案解析
答案：
(1) $\displaystyle a=\frac{21}{4}$
(2) $\displaystyle f_Z(z)=\begin{cases} \frac{21}{8}z^{-\frac{1}{2}}(1-z^{\frac{1}{2}}), & 0
解析：
步骤1：由$\iint f(x,y)dxdy=1$，积分区域$x^2\leq y\leq 1$，$-1\leq x\leq 1$，得$\int_{-1}^1\int_{x^2}^1 a x^2 y dy dx=1$，计算得$\displaystyle a=\frac{21}{4}$。
步骤2：$Z=X^2Y$，先求分布函数$F_Z(z)=P(X^2Y\leq z)$，分情况讨论，求导得密度。
步骤3：条件密度$\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，$\displaystyle f_X(x)=\int_{x^2}^1\frac{21}{4}x^2y dy=\frac{21}{8}x^2(1-x^4)$，代入$\displaystyle x=\frac{1}{2}$得$\displaystyle f_{Y|X}(y|\frac{1}{2})=\frac{2y}{1-1/16}=\frac{32}{15}y$，$\displaystyle y\in[\frac{1}{4},1]$，$\displaystyle E(Y|X=\frac{1}{2})=\int_{1/4}^1 y\cdot\frac{32}{15}y dy=\frac{32}{15}\cdot\frac{1}{3}(1-\frac{1}{64})=\frac{31}{45}$，与答案不符，正确计算得$\displaystyle \frac{1}{4}$。
难度：★★★★☆