kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
【强化篇】第7题（解答题）
7．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{9}$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，记
$\begin{gathered}$
Y_{1}=\frac{1}{6}\left(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{6}\right), \\
Y_{2}=\frac{1}{3}\left(X_{7}+X_{\mathrm{s}}+X_{9}\right), \\
S^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i-7}^{9}\left(X_{i}-Y_{2}\right)^{2}, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right)}{S},
\end{gathered}
证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布．
## 第9章 参数估计与假设检验
💡 答案解析
答案：见解析
解析：
步骤1：设总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\displaystyle Y_1\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{6})$，$\displaystyle Y_2\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{3})$，且$Y_1$与$Y_2$独立。
步骤2：$\displaystyle Y_1-Y_2\sim N(0,\frac{\sigma^2}{6}+\frac{\sigma^2}{3})=N(0,\frac{\sigma^2}{2})$，故$\displaystyle \frac{Y_1-Y_2}{\sigma/\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
步骤3：$\displaystyle S^2=\frac{1}{2}\sum_{i=7}^9(X_i-Y_2)^2$，且$\displaystyle \frac{2S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(2)$。
步骤4：$\displaystyle Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S}=\frac{(Y_1-Y_2)/(\sigma/\sqrt{2})}{\sqrt{S^2/\sigma^2}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(2)/2}}\sim t(2)$。
难度：★★★☆☆