kaoyan1basic 概率论与数理统计 第14题

教材习题

📝 题目

【强化篇】第14题（解答题）
14．设总体 $X$ 服从 $(0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）求 $\displaystyle Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数；
（3）若 $P\left\{\hat{\theta}<\theta<\theta_{0}\right\}=1-\alpha, 0<\alpha<1$ ，求 $\theta_{0}$ ．

💡 答案解析

答案：（1）$\hat{\theta}=X_{(n)}$；（2）$F_Z(z)=\begin{cases} 0, & z<1 \\ z^n, & 0\le z<1 \\ 1, & z\ge 1 \end{cases}$；（3）$\displaystyle \theta_0 = \frac{\hat{\theta}}{\sqrt[n]{\alpha}}$
解析：步骤1：总体$X \sim U(0,\theta]$，密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\theta}, 0步骤2：$\displaystyle Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}=\frac{X_{(n)}}{\theta}$，$X_{(n)}$的分布函数$\displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=(\frac{x}{\theta})^n, 0步骤3：$P\{\hat{\theta}<\theta<\theta_0\}=P\{\theta<\theta_0\} - P\{\theta\le \hat{\theta}\} = 1 - P\{\hat{\theta}\ge \theta_0\}$，由条件$P\{\hat{\theta}<\theta<\theta_0\}=1-\alpha$，得$P\{\hat{\theta}\ge \theta_0\}=\alpha$。由于$\hat{\theta}=X_{(n)}$，$\displaystyle P\{X_{(n)}\ge \theta_0\}=1-(\frac{\theta_0}{\theta})^n=\alpha$，解得$\theta_0 = \theta\sqrt[n]{1-\alpha}$。
难度：★★★☆☆

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