kaoyan1basic 线性代数 第2题

教材习题

📝 题目

【强化篇】第2题（解答题）
2．计算 s 阶行列式：

D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n}
$\end{array}\right|$

$\begin{gathered}$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \\
-1 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x
$\end{array}\right| . \\$
$\text { 4. } D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}$
b & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & b & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & b & -1 \\
a_{n} & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & a_{3} & b+a_{1}
$\end{array}\right|={ }^{\cdots} .$
\end{gathered}

💡 答案解析

答案：$\displaystyle x_1x_2\cdots x_n\left(1+\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{x_i}\right)$
解析：步骤1：将第2至n列加到第1列，提取公因子，再化为三角行列式。$D_n=\left|\begin{array}{cccc}a_1+x_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n+x_n\end{array}\right|$，第1列减去第2至n列得$\left|\begin{array}{cccc}x_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -x_2 & a_2+x_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -x_n & a_2 & \cdots & a_n+x_n\end{array}\right|$，再化为$\displaystyle D_n=x_1x_2\cdots x_n\left(1+\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{x_i}\right)$。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将行列式转化为更易处理的形式
将第2列到第n列都加到第1列上，得到新行列式：第1列变为(a1+x1+a2+...+an, a1+a2+x2+...+an, ..., a1+a2+...+an+xn)^T。然后提取第1列的公因子(1+∑(ai/xi))，但注意这里需要先处理。实际上，更常用的方法是：先将第2至n列加到第1列，然后第1列提出公因子，再通过行变换化为上三角。
公式：将第j列加到第1列，j=2,...,n
提示：注意观察行列式的结构，每一行除了对角线元素外，其他元素都是相同的a_i。
步骤 2/3
目标：提取公因子并简化行列式
经过第一步后，第1列元素都变成了(∑_{i=1}^n a_i + x_i)的形式，但注意每行不同。实际上，更标准的做法是：将第2至n列加到第1列后，第1列元素变为(a1+...+an+x1, a1+...+an+x2, ..., a1+...+an+xn)^T。然后从第1列提取公因子？不，这里每个元素不同，不能直接提取。正确做法是：将第1列乘以-1加到其他列？或者使用加边法。实际上，本题常用加边法：构造n+1阶行列式，然后计算。但解析中给出的方法是：将第2至n列加到第1列后，再减去第2至n行？这里需要仔细。
公式：D_n = | (a1+...+an+x1, a2, ..., an); ... |
提示：注意：加边法更通用。
步骤 3/3
目标：使用加边法或递推法求解
构造n+1阶行列式：D_{n+1} = | 1 a1 a2 ... an; 0 a1+x1 a2 ... an; 0 a1 a2+x2 ... an; ...; 0 a1 a2 ... an+xn |。然后从第2行开始，每行减去第1行乘以a_i？实际上，更简单：将第1行乘以-1加到下面各行，得到：| 1 a1 a2 ... an; -1 x1 0 ... 0; -1 0 x2 ... 0; ...; -1 0 0 ... xn |。然后按第1列展开，得到D_n = x1x2...xn + ∑(a_i * x1...x_{i-1} x_{i+1}...xn * (-1)^{i+1} * (-1)？实际上，展开后得到：D_n = x1x2...xn + ∑_{i=1}^n a_i * (x1...x_{i-1} x_{i+1}...xn) * (-1)^{i+1} * (-1)^{i+1}？需要仔细计算。最终结果为：D_n = x1x2...xn (1 + ∑_{i=1}^n a_i/x_i)。
公式：加边法：D_n = x1x2...xn (1 + ∑ a_i/x_i)
提示：注意符号和系数的计算。

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