kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
【基础篇】第4题（选择题）
4．不恒为零的函数 $f(x)=\left|\begin{array}{lll}a_{1}+x & b_{1}+x & c_{1}+x \\ a_{2}+x & b_{2}+x & c_{2}+x \\ a_{3}+x & b_{3}+x & c_{3}+x\end{array}\right| \quad$ ）．
（A）没有零点
（B）至多有 1 个零点
（C）恰有 2 个零点
（D）恰有 3 个零点
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：将行列式按列拆分为两个行列式之和：
$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + x^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + \cdots$
步骤2：由行列式性质，每两行相同则行列式为0，故$f(x)$是$x$的一次函数（常数项为原行列式，一次项系数为三个含一行1的行列式之和）。
步骤3：一次函数不恒为零，至多有一个零点。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将行列式拆分为关于x的多项式
将行列式按列拆分为两个行列式之和：$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + x^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + \cdots$
公式：行列式按列拆分性质
提示：注意每列拆分为两个列向量之和，然后利用行列式的线性性质展开
步骤 2/3
目标：化简多项式，确定次数
由行列式性质，若有两行相同，则行列式为0。因此，所有含$x^2$及更高次项的行列式均有两行相同（如第一行和第二行均为(1,1,1)），故为零。所以$f(x)$是$x$的一次函数：$f(x)=D_0 + kx$，其中$D_0$为原行列式，$k$为三个含一行1的行列式之和。
公式：行列式两行相同值为0
提示：注意观察展开后哪些项有两行相同
步骤 3/3
目标：判断零点个数
由于$f(x)$不恒为零，且是一次函数，因此至多有一个零点。
提示：一次函数要么无零点，要么一个零点
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