kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
【基础篇】第1题（选择题）
1．已知矩阵方程 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 可以是（ ）
（A）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$
（B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$
（C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$
（D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：验证$A=BC$，计算各选项乘积是否等于$A$。
步骤2：选项D中，$B$为第一列$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0$，第二列$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}$，第三列$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}}$；$C$为上三角矩阵。
步骤3：计算$BC$，得$A$，故D正确。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证选项A是否满足A=BC
计算选项A中两个矩阵的乘积，看是否等于矩阵A。
提示：矩阵乘法：左矩阵的行乘以右矩阵的列。
步骤 2/4
目标：验证选项B是否满足A=BC
计算选项B中两个矩阵的乘积，看是否等于矩阵A。
步骤 3/4
目标：验证选项C是否满足A=BC
计算选项C中两个矩阵的乘积，看是否等于矩阵A。
步骤 4/4
目标：验证选项D是否满足A=BC
计算选项D中两个矩阵的乘积，看是否等于矩阵A。经计算，乘积等于A，故D正确。
提示：注意矩阵乘法的顺序和对应元素相乘求和。
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