kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
【基础篇】第8题（选择题）
8．设 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且 $A B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则必有（ ．
（A）互换矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1,2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$
（B）互换矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1,2 列得矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$
（C）互换矩阵 $A$ 的第 1,2 行得矩阵 $B^{-1}$
（D）互换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 列得矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：$AB=\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right]$，该矩阵为交换第1,2行的初等矩阵，记为$E_{12}$。步骤2：则$A=E_{12}B^{-1}$，即$A$等于$B^{-1}$交换第1,2行。步骤3：两边取逆得$A^{-1}=B E_{12}$，即$A^{-1}$等于$B$交换第1,2列。步骤4：由$A=E_{12}B^{-1}$知，交换$A$的第1,2列得$B^{-1}$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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