kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
【基础篇】第2题（选择题）
2．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{s}$ 线性无关，若向量 $\beta_{1}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，向量 $\beta_{2}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，则必有（ ）。
（A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性相关
（B）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关
（C）向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}$ 线性相关
（D）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\beta_1$可由其线性表示，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1$线性相关，但$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$不一定相关（例如$\beta_1=\alpha_3$时，$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$无关）。
步骤2：$\beta_2$不能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2$线性无关，故其部分组$\alpha_1,\alpha_2,\beta_2$也线性无关。
步骤3：因此选项D正确。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析向量组α1,α2,β1的线性相关性
已知α1,α2,α3线性无关，β1可由α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3,β1线性相关，但α1,α2,β1不一定相关。例如，取β1=α3，则α1,α2,β1线性无关。因此选项A和B都不一定成立。
提示：注意部分组的相关性不一定由整体决定。
步骤 2/2
目标：分析向量组α1,α2,β2的线性相关性
β2不能由α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3,β2线性无关。线性无关的向量组的任意部分组也线性无关，因此α1,α2,β2线性无关。选项D正确，C错误。
提示：线性无关组的子集必线性无关。
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