kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
【强化篇】第9题（解答题）
9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为常数。记分块矩阵
$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}$
$\boldsymbol{E} & 0 \\$
-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{*} & |\boldsymbol{A}|
$\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{cc}$
$\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\alpha} \\$
$\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & b$
$\end{array}\right],$
其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
## 第4章 线性方程组
💡 答案解析
答案：见解析
解析：
步骤1：计算$PQ$：
$PQ=\begin{bmatrix}E&0\\-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}&|A|\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&\alpha\\\alpha^{\mathrm{T}}&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}EA+0\cdot\alpha^{\mathrm{T}}&E\alpha+0\cdot b\\left(-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})A+|A|\alpha^{\mathrm{T}}&(-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})\alpha+|A|b\end{bmatrix}$。
步骤2：利用$A^{*}A=|A|E$，得$(-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})A=-\alpha^{\mathrm{T}}(A^{*}A)=-\alpha^{\mathrm{T}}|A|E=-|A|\alpha^{\mathrm{T}}$，故左上角为$A$，右上角为$\alpha$，左下角为$-|A|\alpha^{\mathrm{T}}+|A|\alpha^{\mathrm{T}}=0$，右下角为$-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha+|A|b$。
步骤3：由$A^{*}\alpha=|A|A^{-1}\alpha$，得$-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha=-|A|\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha$，故右下角为$|A|(b-\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha)$。
因此$PQ=\begin{bmatrix}A&\alpha\\0&|A|(b-\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha)\end{bmatrix}$。
难度：★★★☆☆