kaoyan1basic 线性代数 第9题

教材习题

📝 题目

【强化篇】第9题（选择题）
9．设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是（ ）。
（A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似
（B）$A^{2}+A^{-1}$ 与 $B^{2}+B^{-1}$ 相似
（C） $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似
（D） $\boldsymbol{A}^{*}-\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{*}-\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似

💡 答案解析

答案：C
解析：
步骤1：若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，则存在可逆$\boldsymbol{P}$使$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$。
步骤2：选项A：$\boldsymbol{B}^\mathrm{T}=(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^\mathrm{T}=\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}(\boldsymbol{P}^{-1})^\mathrm{T}$，故相似。
步骤3：选项B：$\boldsymbol{B}^2+\boldsymbol{B}^{-1}=(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^2+(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^{-1}=\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1})\boldsymbol{P}$，故相似。
步骤4：选项C：$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^\mathrm{T}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}(\boldsymbol{P}^{-1})^\mathrm{T}$，一般不与$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$相似，除非$\boldsymbol{P}$正交。
步骤5：选项D：$\boldsymbol{B}^{*}-\boldsymbol{B}^{-1}=|\boldsymbol{B}|\boldsymbol{B}^{-1}-\boldsymbol{B}^{-1}=(|\boldsymbol{A}|-1)\boldsymbol{B}^{-1}$，与$\boldsymbol{A}^{*}-\boldsymbol{A}^{-1}$相似。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：理解相似矩阵的定义
若A与B相似，则存在可逆矩阵P使得B = P^{-1}AP。
公式：B = P^{-1}AP
提示：相似矩阵具有相同的特征值、秩、行列式等性质。
步骤 2/5
目标：分析选项A：A^T与B^T相似
计算B^T = (P^{-1}AP)^T = P^T A^T (P^{-1})^T = (P^T) A^T (P^T)^{-1}，因此A^T与B^T相似。
公式：B^T = (P^T) A^T (P^T)^{-1}
提示：转置运算与逆运算的顺序： (P^{-1})^T = (P^T)^{-1}。
步骤 3/5
目标：分析选项B：A^2+A^{-1}与B^2+B^{-1}相似
计算B^2+B^{-1} = (P^{-1}AP)^2 + (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^2P + P^{-1}A^{-1}P = P^{-1}(A^2+A^{-1})P，因此相似。
公式：B^2+B^{-1} = P^{-1}(A^2+A^{-1})P
提示：注意(P^{-1}AP)^2 = P^{-1}A^2P，且(P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P。
步骤 4/5
目标：分析选项C：A+A^T与B+B^T相似
计算B+B^T = P^{-1}AP + P^T A^T (P^{-1})^T。一般情况下，这个表达式不能写成某个矩阵的相似变换形式，除非P是正交矩阵（即P^{-1}=P^T）。因此，A+A^T与B+B^T不一定相似。
公式：B+B^T = P^{-1}AP + P^T A^T (P^{-1})^T
提示：相似变换要求同一个P，而这里P^{-1}和P^T一般不同。
步骤 5/5
目标：分析选项D：A^*-A^{-1}与B^*-B^{-1}相似
由于A与B相似，有相同的行列式，记|A|=|B|=d。则A^* = dA^{-1}，B^* = dB^{-1}。因此B^*-B^{-1} = dB^{-1}-B^{-1} = (d-1)B^{-1} = P^{-1}((d-1)A^{-1})P = P^{-1}(A^*-A^{-1})P，故相似。
公式：B^*-B^{-1} = P^{-1}(A^*-A^{-1})P
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系：A^* = |A|A^{-1}。

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