kaoyan1basic 高等数学 第156题
📝 题目
第156题
设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则
（A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。
（B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ．
（C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。
（D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：设切点为 $(x_0, a^{x_0})$，切线斜率 $k = a^{x_0} \ln a$，切线方程为 $y - a^{x_0} = a^{x_0} \ln a (x - x_0)$。
步骤2：由 $y=x$ 为切线，故斜率 $a^{x_0} \ln a = 1$，且切点在 $y=x$ 上，即 $a^{x_0}=x_0$。
步骤3：代入得 $x_0 \ln a = 1$，即 $\displaystyle \ln a = \frac{1}{x_0}$，又 $a^{x_0}=x_0$ 得 $x_0 = e$，故 $\displaystyle \ln a = \frac{1}{e}$，$a = e^{1/e}$，切点为 $(e^{1/e}, e^{1/e})$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设切点并写出切线方程
设切点为 $(x_0, a^{x_0})$，曲线 $y=a^x$ 的导数为 $y' = a^x \ln a$，故切线斜率为 $k = a^{x_0} \ln a$。切线方程为 $y - a^{x_0} = a^{x_0} \ln a (x - x_0)$。
公式：y' = a^x \ln a
提示：注意指数函数的导数公式。
步骤 2/3
目标：利用切线条件建立方程
已知切线为 $y=x$，其斜率为1，且切点在 $y=x$ 上。因此有 $a^{x_0} \ln a = 1$ 和 $a^{x_0} = x_0$。
公式：a^{x_0} \ln a = 1, \quad a^{x_0} = x_0
提示：切点同时满足曲线方程和切线方程。
步骤 3/3
目标：求解参数和切点坐标
将 $a^{x_0}=x_0$ 代入 $a^{x_0} \ln a = 1$ 得 $x_0 \ln a = 1$，即 $\ln a = \frac{1}{x_0}$。再由 $a^{x_0}=x_0$ 得 $x_0 = e^{\ln x_0} = e^{x_0 \ln a} = e^{1}$，故 $x_0 = e$。于是 $\ln a = \frac{1}{e}$，$a = e^{1/e}$，切点为 $(e^{1/e}, e^{1/e})$。
公式：x_0 \ln a = 1, \quad x_0 = e
提示：注意 $a^{x_0}=x_0$ 与 $x_0 \ln a = 1$ 联立求解。
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