kaoyan1basic 高等数学 第161题
📝 题目
第161题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则
（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：$f(0)=2-\cos 0=1$，$f(0^+)=\sqrt{0}+1=1$，连续。
步骤2：$x<0$ 时 $f'(x)=\sin x$，$f'(0^-)=0$；$x>0$ 时 $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(0^+)=+\infty$，故 $x=0$ 处导数不存在，但左邻域 $f'(x)<0$（$x<0$ 时 $\sin x<0$），右邻域 $f'(x)>0$，故 $x=0$ 为极小值点。
步骤3：$x<0$ 时 $f''(x)=\cos x$，$f''(0^-)=1$；$x>0$ 时 $\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0$，二阶导数变号，故 $(0,1)$ 为拐点。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
计算f(0)=2-cos0=1，f(0+)=√0+1=1，左右相等，故f(x)在x=0处连续。
公式：f(0)=1, f(0+)=1
提示：连续性是讨论极值和拐点的前提。
步骤 2/3
目标：判断极值点
x<0时f'(x)=sinx，f'(0-)=0；x>0时f'(x)=1/(2√x)，f'(0+)=+∞，导数不存在。左邻域f'(x)<0（sinx<0），右邻域f'(x)>0，故x=0为极小值点。
公式：f'(x)=sinx (x<0), f'(x)=1/(2√x) (x>0)
提示：导数不存在点也可能是极值点，需用定义或左右导数符号判断。
步骤 3/3
目标：判断拐点
x<0时f''(x)=cosx，f''(0-)=1；x>0时f''(x)=-1/(4)x^{-3/2}<0，二阶导数变号，故(0,1)为拐点。
公式：f''(x)=cosx (x<0), f''(x)=-1/(4)x^{-3/2} (x>0)
提示：拐点处二阶导数变号，即使二阶导数不存在也可能为拐点。
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