kaoyan1basic 高等数学 第187题
📝 题目
第187题
I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
💡 答案解析
答案：A
解析：
步骤1：$\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}=|\cos x|\sqrt{1-\cos^2x}=|\cos x||\sin x|$。
步骤2：在$[0,\pi]$上，$\sin x\ge0$，故原式$=\int_0^\pi x|\cos x|\sin x dx$。
步骤3：由对称性，$\displaystyle \int_0^\pi x|\cos x|\sin x dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi|\cos x|\sin x dx=\pi\int_0^{\pi/2}\cos x\sin x dx$。
步骤4：$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos x\sin x dx=\frac{1}{2}$，故$I=\pi$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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