kaoyan1basic 高等数学 第210题
📝 题目
第210题
半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为
（A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$.
（C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：半圆方程 $x^2+y^2=R^2$，$x$ 轴正向朝下，水深为 $x$，压强为 $x$（$\rho g=1$）。
步骤2：取微元，在深度 $x$ 处，宽度 $2\sqrt{R^2-x^2}$，微压力 $dP = x \cdot 2\sqrt{R^2-x^2} dx$。
步骤3：总压力 $P = \int_{0}^{R} 2x\sqrt{R^2-x^2} dx$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并确定压强分布
将半圆形闸门垂直放入水中，直径与水面齐平。取圆心为原点，x轴正向朝下，则水深为x。由于ρg=1，压强p=x。
公式：p = x
提示：注意坐标轴方向，x轴向下为正，水深即为x坐标。
步骤 2/3
目标：取微元并计算微压力
在深度x处，闸门宽度为半圆对应横截线的长度。半圆方程为x^2+y^2=R^2，解得y=±√(R^2-x^2)，宽度为2√(R^2-x^2)。微元面积为dA=2√(R^2-x^2)dx，微压力dP=p·dA=x·2√(R^2-x^2)dx。
公式：dP = 2x√(R^2-x^2)dx
提示：微元取水平窄条，宽度随x变化。
步骤 3/3
目标：积分求总压力
对微压力从x=0到x=R积分，得到总压力P=∫_0^R 2x√(R^2-x^2)dx。
公式：P = ∫_0^R 2x√(R^2-x^2)dx
提示：积分变量x从0到R，对应水深从水面到最深处。
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