kaoyan1basic 高等数学 第215题

教材习题

📝 题目

第215题
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且

x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3}

则可得
（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）．
（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．
（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．
（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：
步骤1：令 $u=tx$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}f(tx)dt = \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du$，代入原式得 $\int_{0}^{x}f(u)du + 2\int_{0}^{x}f(t)dt = xf(x)+x^3$，即 $3\int_{0}^{x}f(t)dt = xf(x)+x^3$。
步骤2：两边求导得 $3f(x) = f(x) + xf'(x) + 3x^2$，即 $2f(x) = xf'(x) + 3x^2$。
步骤3：解微分方程 $\displaystyle f'(x) - \frac{2}{x}f(x) = -3x$，通解 $f(x) = x^2(C - 3\ln x)$。
步骤4：由连续性，$x=0$ 时 $f(0)=0$，得 $f(x)=\begin{cases} x^2 - 3x^2\ln x, & x>0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：化简积分方程
令 u = tx，则 ∫₀¹ f(tx) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du，代入原方程得 ∫₀ˣ f(u) du + 2∫₀ˣ f(t) dt = x f(x) + x³，即 3∫₀ˣ f(t) dt = x f(x) + x³。
公式：∫₀¹ f(tx) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du
提示：注意变量替换后积分限的变化。
步骤 2/4
目标：两边求导得到微分方程
对等式 3∫₀ˣ f(t) dt = x f(x) + x³ 两边关于 x 求导，得 3f(x) = f(x) + x f'(x) + 3x²，整理得 2f(x) = x f'(x) + 3x²。
公式：d/dx ∫₀ˣ f(t) dt = f(x)
提示：注意乘积求导法则。
步骤 3/4
目标：解微分方程
将微分方程化为标准形式：f'(x) - (2/x) f(x) = -3x。这是一阶线性微分方程，通解为 f(x) = x² (C - 3 ln x)，其中 C 为任意常数。
公式：一阶线性微分方程通解公式：y = e^{-∫P dx} (∫Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：积分因子为 e^{-∫(2/x) dx} = x⁻²。
步骤 4/4
目标：利用连续性确定常数
由于 f(x) 在 [0, +∞) 上连续，当 x→0⁺ 时，f(x) 应趋于 f(0)。由通解 f(x) = x² (C - 3 ln x)，当 x→0⁺ 时，x² ln x → 0，故 f(0) = 0 要求 C 为任意常数？但为使极限存在，必须 C 为有限常数，实际上 f(0)=0 自动满足，但 ln x 在 x=0 无定义，故需分段定义：x>0 时 f(x)=x² - 3x² ln x（取 C=1），x=0 时 f(0)=0。
公式：lim_{x→0⁺} x² ln x = 0
提示：注意连续性要求 f(0) 由极限定义。

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