kaoyan1basic 高等数学 第237题
📝 题目
第237题
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．
（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：可微的充分条件之一是偏导数连续。选项D表明$f_x$和$f_y$在(0,0)连续，故$f$可微。
步骤2：A仅说明沿坐标轴方向连续，不足；B仅连续；C仅偏导数存在，均不足。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断可微的充分条件
函数可微的充分条件是偏导数连续。选项D给出两个偏导数在(0,0)连续，因此f在(0,0)可微。
提示：偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件。
步骤 2/2
目标：排除其他选项
选项A仅说明偏导数沿坐标轴方向连续，不足以保证可微；选项B仅说明函数连续，连续不一定可微；选项C仅说明偏导数存在，偏导数存在不一定可微。
提示：可微一定连续且偏导存在，但反之不成立。
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