kaoyan1basic 高等数学 第269题
📝 题目
第269题
累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：累次积分$I=\int_0^1 dy\int_y^1\sqrt{x^2+y^2}dx$，积分区域为$0\le y\le1$，$y\le x\le1$，即三角形区域。
步骤2：交换积分次序，$x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$x$，
$$
I=\int_0^1 dx\int_0^x\sqrt{x^2+y^2}dy.
$$
步骤3：先对$y$积分，$\int_0^x\sqrt{x^2+y^2}dy$，令$y=x\tan t$，则$dy=x\sec^2 t\,dt$，$t$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，$\sqrt{x^2+y^2}=x\sec t$，
$$
\int_0^x\sqrt{x^2+y^2}dy=x^2\int_0^{\pi/4}\sec^3 t\,dt.
$$
步骤4：$\displaystyle \int\sec^3 t\,dt=\frac12(\sec t\tan t+\ln|\sec t+\tan t|)+C$，代入得
$$
x^2\cdot\frac12\left(\sqrt{2}\cdot1+\ln(\sqrt{2}+1)\right)=\frac{x^2}{2}\left(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\right).
$$
步骤5：再对$x$积分，
$$
I=\frac12\left(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\right)\int_0^1 x^2 dx=\frac12\left(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\right)\cdot\frac13=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac16\ln(\sqrt{2}+1).
$$
难度：★★★☆☆