kaoyan1basic 高等数学 第616题
📝 题目
第616题
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则
（A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。
（B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。
（C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。
（D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。
💡 答案解析
答案：D
解析：
已知级数 $\sum u_n$ 条件收敛，即 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum |u_n|$ 发散。
考虑
$$
u_n + |u_n| =
\begin{cases}
2u_n, & u_n \ge 0 \\
0, & u_n < 0
\end{cases}
$$
这相当于只取正项的部分，而负项被消去。由于原级数条件收敛，正项部分的和是发散的（否则原级数绝对收敛），因此 $\sum (u_n + |u_n|)$ 发散。
同理，
$$
u_n - |u_n| =
\begin{cases}
0, & u_n \ge 0 \\
2u_n, & u_n < 0
\end{cases}
$$
只取负项部分，其和也发散（因为负项部分的和发散到 $-\infty$）。
但注意，这里需要更细致的分析：条件收敛意味着正项部分和负项部分分别发散，但它们的和收敛。因此 $\sum (u_n + |u_n|)$ 发散（正项部分发散），而 $\sum (u_n - |u_n|)$ 收敛？
实际上，由条件收敛可知，$\sum u_n$ 收敛，$\sum |u_n|$ 发散。
设 $a_n = u_n + |u_n|$，$b_n = u_n - |u_n|$。
则 $a_n \ge 0$，且 $a_n = 2\max(u_n, 0)$。若 $\sum a_n$ 收敛，则正项部分收敛，结合 $\sum u_n$ 收敛可得负项部分也收敛，从而绝对收敛，矛盾。故 $\sum a_n$ 发散。
而 $b_n \le 0$，且 $b_n = 2\min(u_n, 0)$。同理，若 $\sum b_n$ 收敛，则负项部分收敛，也会导致绝对收敛，矛盾。故 $\sum b_n$ 也发散。
因此两者都发散，选B。
但注意：原题中条件收敛意味着正负项各自发散，所以两个级数都发散。
难度：★★☆☆☆