kaoyan1basic 高等数学 第641题
📝 题目
第641题
设有空间$\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则
（A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$.
（B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$.
（C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ．
（D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：$\Omega_1$是上半球体，$\Omega_2$是第一卦限内的八分之一球体。
步骤2：被积函数$z$关于$x,y$为偶函数，且区域对称，$\iiint_{\Omega_1}z\mathrm{d}v=4\iiint_{\Omega_2}z\mathrm{d}v$。
步骤3：$x$和$y$在$\Omega_1$中关于$yOz$或$xOz$平面为奇函数，积分值为0，而$\Omega_2$中不为0，故A、B错误。
步骤4：$xyz$在$\Omega_1$中关于$x$为奇函数，积分值为0，而$\Omega_2$中不为0，故D错误。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析区域对称性
Ω1是上半球体，关于x=0和y=0对称；Ω2是第一卦限内的八分之一球体，关于x=0和y=0不对称。
提示：注意对称性对积分的影响。
步骤 2/3
目标：判断被积函数的奇偶性
对于Ω1，x和y关于各自对称面是奇函数，积分值为0；z是偶函数，积分非零；xyz关于x是奇函数，积分值为0。
提示：奇函数在对称区域积分为0。
步骤 3/3
目标：比较各选项
A: 左边=0，右边≠0，错误；B: 左边=0，右边≠0，错误；C: 左边=4倍右边，正确；D: 左边=0，右边≠0，错误。
提示：利用对称性和奇偶性快速判断。
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