kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
## 第15题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$
解析：步骤1：$\displaystyle \ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)+xf(x)}{x^2}=0$。步骤2：整理得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-x}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}{2}+xf(x)}{x^2}=0$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x}\right)+\lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{2}+\frac{f(x)}{x}\right)=0$。步骤3：为使极限存在，$\displaystyle -\frac{1}{x}$项必须被抵消，故设$f(x)=1+Ax+o(x)$，代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-x-\frac{x^2}{2}+x(1+Ax+o(x))}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}{2}+Ax^2+o(x^2)}{x^2}=A-\frac{1}{2}=0$，所以$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=\frac{1}{2}$。
难度：★★★☆☆