kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
## 第30题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$e^3$
解析：
步骤1：$\displaystyle I = \lim_{n \to \infty} \left( f\left(\frac{1}{n}\right) \right)^{\frac{1/n}{1-\cos(1/n)}}$，取对数：$\displaystyle \ln I = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1-\cos(1/n)} \ln f\left(\frac{1}{n}\right)$。
步骤2：令$\displaystyle x=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle \ln I = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1-\cos x} \ln f(x)$。
步骤3：$\displaystyle \frac{x}{1-\cos x} \sim \frac{x}{x^2/2} = \frac{2}{x}$，$\ln f(x) \sim \ln(1+3x) \sim 3x$，故$\displaystyle \ln I = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot 3x = 6$，$I=e^6$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为指数形式，便于利用等价无穷小和导数定义
设 I = lim_{n→∞} [f(1/n)]^{ (1/n) / (1 - cos(1/n)) }，取自然对数得 ln I = lim_{n→∞} [ (1/n) / (1 - cos(1/n)) ] * ln f(1/n)。
公式：ln I = lim_{n→∞} (1/n)/(1-cos(1/n)) * ln f(1/n)
提示：当极限形式为幂指函数时，通常取对数处理。
步骤 2/4
目标：变量代换，将离散极限转化为连续极限
令 x = 1/n，则当 n→∞ 时 x→0，于是 ln I = lim_{x→0} [ x / (1 - cos x) ] * ln f(x)。
公式：ln I = lim_{x→0} x/(1-cos x) * ln f(x)
提示：变量代换是处理数列极限的常用技巧。
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小简化表达式
当 x→0 时，1 - cos x ~ x^2/2，所以 x/(1-cos x) ~ x/(x^2/2) = 2/x。同时，由 f(0)=1, f'(0)=3 得 f(x) ~ 1+3x，故 ln f(x) ~ ln(1+3x) ~ 3x。因此 ln I = lim_{x→0} (2/x) * (3x) = 6。
公式：x/(1-cos x) ~ 2/x, ln f(x) ~ 3x
提示：注意等价无穷小替换的条件：乘除因子可直接替换，加减需谨慎。
步骤 4/4
目标：由对数结果还原原极限
由 ln I = 6 得 I = e^6。
公式：I = e^{ln I} = e^6
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