kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
第2题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}4-x^{2}, & |x| \leqslant 2 \\ 0, & |x|>2\end{array}\right.$ ，则 $f(f(x))=$ $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
答案：$ f(f(x)) = 4 - (f(x))^2 $，其中 $ |f(x)| \leq 2 $，即 $ f(f(x)) = 4 - (4 - x^2)^2 $，当 $ |x| \leq 2 $ 时；当 $ |x| > 2 $ 时，$ f(f(x)) = 4 $。
更规范地写为：
$$
f(f(x)) =
\begin{cases}
4 - (4 - x^2)^2, & |x| \leq 2, \\
4, & |x| > 2.
\end{cases}
$$
解析：
步骤1：首先明确 $ f(x) $ 的定义：当 $ |x| \leq 2 $ 时，$ f(x) = 4 - x^2 $；当 $ |x| > 2 $ 时，$ f(x) = 0 $。
步骤2：计算 $ f(f(x)) $，需要根据 $ f(x) $ 的取值是否满足 $ |f(x)| \leq 2 $ 来分段讨论。
步骤3：当 $ |x| \leq 2 $ 时，$ f(x) = 4 - x^2 $。由于 $ x \in [-2,2] $，有 $ 0 \leq 4 - x^2 \leq 4 $，即 $ f(x) \in [0,4] $。此时需判断 $ |f(x)| \leq 2 $ 是否成立：
- 若 $ 4 - x^2 \leq 2 $，即 $ x^2 \geq 2 $，解得 $ |x| \geq \sqrt{2} $，此时 $ |f(x)| \leq 2 $，故 $ f(f(x)) = 4 - (f(x))^2 = 4 - (4 - x^2)^2 $。
- 若 $ 4 - x^2 > 2 $，即 $ |x| < \sqrt{2} $，此时 $ |f(x)| > 2 $，故 $ f(f(x)) = 0 $。
步骤4：当 $ |x| > 2 $ 时，$ f(x) = 0 $，而 $ |0| \leq 2 $，故 $ f(f(x)) = 4 - 0^2 = 4 $。
步骤5：综合以上，得到最终分段函数形式。
难度：★★☆☆☆