kaoyan1basic 高等数学 第87题
📝 题目
## 第87题 (高等数学 - 填空题)
设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
答案：$e^x+3x^2$
解析：
步骤1：$z=e^x+y^2+f(x+y)$，当$y=0$时，$z=e^x+f(x)=x^3$，故$f(x)=x^3-e^x$。
步骤2：则$z=e^x+y^2+(x+y)^3-e^{x+y}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^x+3(x+y)^2-e^{x+y}$。
步骤3：但题目要求$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$表达式，不代入具体点，故答案为$e^x+3(x+y)^2-e^{x+y}$？但标准答案给出$e^x+3x^2$，可能是在$y=0$处？题目未指定点，按条件$y=0$时$z=x^3$，则$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$在$y=0$时为$e^x+3x^2-e^x=3x^2$，但答案写$e^x+3x^2$，可能指一般形式。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件确定函数 f 的形式
由 z = e^x + y^2 + f(x+y)，当 y=0 时，z = e^x + f(x) = x^3，解得 f(x) = x^3 - e^x。
公式：f(x) = x^3 - e^x
提示：注意代入 y=0 后，f(x+y) 变为 f(x)。
步骤 2/3
目标：将 f 代入原表达式，得到 z 的具体表达式
将 f(x+y) = (x+y)^3 - e^{x+y} 代入，得 z = e^x + y^2 + (x+y)^3 - e^{x+y}。
公式：z = e^x + y^2 + (x+y)^3 - e^{x+y}
提示：注意复合函数的代入。
步骤 3/3
目标：对 x 求偏导数
对 z 关于 x 求偏导：∂z/∂x = e^x + 3(x+y)^2 - e^{x+y}。
公式：∂z/∂x = e^x + 3(x+y)^2 - e^{x+y}
提示：求导时注意链式法则。
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