kaoyan1basic 高等数学 第116题

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📝 题目

## 第116题 (高等数学 - 填空题)
设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

答案：$\displaystyle \frac{5}{3}+\frac{\pi}{2}$
解析：
步骤1：区域 $D=[-1,1]\times[0,2]$，被积函数 $\sqrt{|y-x^2|}$，分 $y\ge x^2$ 和 $y步骤2：$I=\iint_{y\ge x^2}\sqrt{y-x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{y步骤3：第一部分：$x\in[-1,1]$，$y$ 从 $x^2$ 到 $2$，积分得 $\displaystyle \int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\int_{x^2}^{2}\sqrt{y-x^2}\mathrm{d}y=\int_{-1}^{1}\frac{2}{3}(2-x^2)^{3/2}\mathrm{d}x$。
步骤4：第二部分：$x\in[-1,1]$，$y$ 从 $0$ 到 $x^2$，积分得 $\displaystyle \int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{x^2}\sqrt{x^2-y}\mathrm{d}y=\int_{-1}^{1}\frac{2}{3}|x|^3\mathrm{d}x$。
步骤5：计算得 $\displaystyle \frac{5}{3}+\frac{\pi}{2}$。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：划分积分区域
区域D为矩形[-1,1]×[0,2]。被积函数含绝对值，需根据y与x²的大小分区域：当y≥x²时，√|y-x²| = √(y-x²)；当y
提示：注意绝对值处理，将积分区域分为两部分。
步骤 2/6
目标：写出积分表达式
I = ∬_{y≥x²} √(y-x²) dxdy + ∬_{y
提示：分别对两部分积分。
步骤 3/6
目标：计算第一部分积分
对于y≥x²部分，x从-1到1，y从x²到2。先对y积分：∫_{x²}^{2} √(y-x²) dy = (2/3)(2-x²)^{3/2}。再对x积分：∫_{-1}^{1} (2/3)(2-x²)^{3/2} dx。
公式：∫ √(y-x²) dy = (2/3)(y-x²)^{3/2}
提示：注意积分上下限，y从x²到2。
步骤 4/6
目标：计算第二部分积分
对于y
公式：∫ √(x²-y) dy = -(2/3)(x²-y)^{3/2}，代入上下限得(2/3)|x|³
提示：注意|x|³的对称性，化为2倍0到1积分。
步骤 5/6
目标：计算第一部分积分结果
计算∫_{-1}^{1} (2/3)(2-x²)^{3/2} dx。由于被积函数为偶函数，= (4/3)∫_{0}^{1} (2-x²)^{3/2} dx。令x=√2 sinθ，则dx=√2 cosθ dθ，当x=0时θ=0，x=1时θ=arcsin(1/√2)=π/4。积分变为(4/3)∫_{0}^{π/4} (2-2sin²θ)^{3/2} √2 cosθ dθ = (4/3)∫_{0}^{π/4} (2cos²θ)^{3/2} √2 cosθ dθ = (4/3)∫_{0}^{π/4} 2^{3/2} cos³θ √2 cosθ dθ = (4/3)*2²∫_{0}^{π/4} cos⁴θ dθ = (16/3)∫_{0}^{π/4} cos⁴θ dθ。利用倍角公式cos²θ=(1+cos2θ)/2，cos⁴θ=(1+2cos2θ+cos²2θ)/4 = (1+2cos2θ+(1+cos4θ)/2)/4 = (3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θ。积分得(16/3)[(3/8)θ + (1/4)sin2θ + (1/32)sin4θ]从0到π/4 = (16/3)[(3/8)*(π/4) + (1/4)*1 + (1/32)*0] = (16/3)[(3π/32) + 1/4] = (16/3)*(3π/32) + (16/3)*(1/4) = (π/2) + (4/3)。
公式：∫ cos⁴θ dθ = (3/8)θ + (1/4)sin2θ + (1/32)sin4θ + C
提示：换元时注意积分限变换，利用偶函数简化。
步骤 6/6
目标：合并两部分结果
第一部分结果为π/2 + 4/3，第二部分结果为1/3，总和为π/2 + 5/3。
提示：注意分数相加。

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