kaoyan1basic 高等数学 第121题
📝 题目
## 第121题 (高等数学 - 选择题)
设有下列命题
（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。
（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．
（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。
（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
💡 答案解析
答案：B
解析：步骤1：命题(1)正确，收敛数列必有界。步骤2：命题(2)正确，数列极限存在等价于其任意子列极限存在且相等。步骤3：命题(3)正确，奇偶子列极限均等于 $a$ 则原数列极限为 $a$。步骤4：命题(4)错误，反例 $x_n = n$ 满足 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$ 但极限不存在。正确个数为3。
难度：★★☆☆☆