kaoyan1basic 高等数学 第123题
📝 题目
## 第123题 (高等数学 - 选择题)
有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，
（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．
（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．
则以上命题中正确的个数是
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C）2．
（D） 3 ．
$\begin{gathered}$
x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\
x=2
\end{gathered}
💡 答案解析
答案：B
解析：步骤1：命题(1)错误，反例 $f(x)=0$，$\displaystyle g(x)=\sin\frac{1}{x}$ 在 $x\to0$ 时极限不存在，但乘积极限为0。步骤2：命题(2)错误，反例 $\displaystyle g(x)=\sin\frac{1}{x}$，$\displaystyle h(x)=-\sin\frac{1}{x}$，和极限为0。步骤3：命题(3)错误，反例 $\displaystyle g(x)=\sin\frac{1}{x}$，$\displaystyle h(x)=\sin\frac{1}{x}$，乘积极限不存在但非必然。步骤4：命题(4)正确，若 $\lim (g+f)$ 存在，则 $\lim g = \lim (g+f) - \lim f$ 存在，矛盾。正确个数为1。
难度：★★★☆☆