kaoyan1basic 高等数学 第142题
📝 题目
## 第142题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则
（A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
（B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan\frac{x-1}{x}}$，间断点$x=0$和$x=1$。
步骤2：$x\to0$时，$\displaystyle \frac{x-1}{x}\to -\infty$，$\displaystyle \arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle f(x)\to -\frac{2}{\pi}$，极限存在，但$x=0$处无定义，为第一类可去间断点？注意：$x\to0$时，$\displaystyle \frac{x-1}{x}\to -\infty$，$\arctan$极限为$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$，故$f(x)$极限为$\displaystyle -\frac{2}{\pi}$，是第一类间断点。
步骤3：$x\to1$时，$\displaystyle \frac{x-1}{x}\to 0$，$\arctan0=0$，分母趋于0，分子为1，故$f(x)\to\infty$，为第二类间断点。
步骤4：因此$x=0$是第一类，$x=1$是第二类，对应(D)。
难度：★★★☆☆