kaoyan1basic 高等数学 第186题
📝 题目
## 第186题 (高等数学 - 选择题)
下列用牛顿 一 莱布尼茨公式计算定积分的做法中，错误的做法一共有
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ．
（A） 1 个．
（B） 2 个．
（C） 3 个．
（D） 4 个．
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：(1)中$\displaystyle \sqrt{\sin^3 x-\sin^5 x}=\sin^{\frac{3}{2}}x|\cos x|$，而非$\displaystyle \sin^{\frac{3}{2}}x\cos x$，在$[0,\pi]$上$\cos x$变号，直接去掉绝对值错误。步骤2：(2)中$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$在$x=0$处无界，不是定积分，不能直接用牛顿-莱布尼茨公式。步骤3：(3)中$\tan x$在$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$处无定义，原函数在$[0,\pi]$上不连续，不能直接代入。步骤4：(4)中$\displaystyle \arctan\frac{1}{x}$在$x=0$处不连续，且原函数在$[-1,1]$上不是$f(x)$的连续原函数，公式使用错误。四个做法均错误。
难度：★★★☆☆