kaoyan1basic 高等数学 第204题
📝 题目
## 第204题 (高等数学 - 选择题)
设有下列命题
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。
（4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：命题(1)错误，因为$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$收敛需两个极限均存在，奇函数不能保证收敛，例如$f(x)=x$。
步骤2：命题(2)错误，$\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R} f(x)dx$存在是柯西主值，不能保证$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$收敛，例如$f(x)=x$。
步骤3：命题(3)正确，例如$f(x)=1/x$，$g(x)=-1/x$在$[1,+\infty)$上均发散，但和为零收敛；或$f(x)=1/x$，$g(x)=1/x$，和发散。
步骤4：命题(4)正确，若两个均发散，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$可能发散（如$f(x)=1$），也可能收敛（如$f(x)=x$，但需注意定义，实际上$f(x)=x$的积分发散，但若取对称区间，柯西主值为0，但通常意义下发散）。更恰当的例子：$f(x)=\sin x$，$\int_{-\infty}^{0}\sin x dx$发散，$\int_{0}^{+\infty}\sin x dx$发散，但$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin x dx$发散。实际上，若两个均发散，则整体必发散，因为收敛要求两个均收敛。故命题(4)错误。
步骤5：正确命题个数为1（仅(3)正确）。
难度：★★★☆☆