kaoyan1basic 高等数学 第246题
📝 题目
## 第246题 (高等数学 - 选择题)
已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$
（A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．
（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．
（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2y^2+2xy+3x^2$，对$x$积分得$f(x,y)=2xy^2+x^2y+x^3+\phi(y)$。
步骤2：对$y$求偏导得$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=4xy+x^2+\phi'(y)$，与已知$4xy+x^2$比较得$\phi'(y)=0$，故$\phi(y)=C$。
步骤3：所以$f(x,y)=2xy^2+x^2y+x^3+C$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由偏导数积分求原函数
由 df = (2y^2+2xy+3x^2)dx + (4xy+x^2)dy 知 ∂f/∂x = 2y^2+2xy+3x^2。对 x 积分，将 y 视为常数，得 f(x,y) = ∫(2y^2+2xy+3x^2)dx = 2xy^2 + x^2y + x^3 + φ(y)，其中 φ(y) 是 y 的任意函数。
公式：f(x,y) = ∫(2y^2+2xy+3x^2)dx = 2xy^2 + x^2y + x^3 + φ(y)
提示：积分时注意将 y 视为常数，并加上关于 y 的任意函数 φ(y)。
步骤 2/3
目标：利用另一个偏导数确定 φ(y)
对 f(x,y) 求关于 y 的偏导数：∂f/∂y = 4xy + x^2 + φ'(y)。已知 ∂f/∂y = 4xy + x^2，比较得 φ'(y) = 0，因此 φ(y) = C（常数）。
公式：∂f/∂y = 4xy + x^2 + φ'(y) = 4xy + x^2 ⇒ φ'(y)=0 ⇒ φ(y)=C
提示：比较等式两边，得到 φ'(y)=0，说明 φ(y) 是常数。
步骤 3/3
目标：写出原函数表达式
代入 φ(y)=C，得 f(x,y) = 2xy^2 + x^2y + x^3 + C。
公式：f(x,y) = 2xy^2 + x^2y + x^3 + C
提示：注意常数 C 不能遗漏。
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