kaoyan1basic 高等数学 第264题

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📝 题目

## 第264题 (高等数学 - 选择题)
设积分$D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ．

💡 答案解析

答案：B
解析：步骤1：区域$D$为正方形$|x|\leq1$，$|y|\leq1$去掉圆$x^2+y^2步骤2：第一象限内，$x,y\geq0$，$|xy|=xy$，区域为$0\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，且$x^2+y^2\geq x$，即$y\geq\sqrt{x-x^2}$（当$x\leq1$时，$x-x^2\geq0$，$x\in[0,1]$）。
步骤3：第一象限积分$\displaystyle \iint_{D_1} xy d\sigma=\int_0^1 dx\int_{\sqrt{x-x^2}}^1 xy dy=\int_0^1 x\cdot\frac{1}{2}(1-(x-x^2))dx=\frac{1}{2}\int_0^1 x(1-x+x^2)dx=\frac{1}{2}\int_0^1 (x-x^2+x^3)dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{12}=\frac{5}{24}$。
步骤4：由对称性，整个区域积分为$\displaystyle 4\times\frac{5}{24}=\frac{5}{6}$。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：利用对称性简化积分区域
区域D关于x轴和y轴对称，被积函数|xy|关于x和y均为偶函数，因此积分等于第一象限区域D1上积分的4倍。第一象限内x≥0, y≥0，|xy|=xy，区域D1由0≤x≤1, 0≤y≤1且x^2+y^2≥x确定，即y≥√(x-x^2)。
公式：∬_D |xy| dσ = 4 ∬_{D1} xy dσ
提示：注意对称性条件：区域对称且被积函数为偶函数。
步骤 2/5
目标：写出第一象限的累次积分表达式
对于固定的x∈[0,1]，y从下边界√(x-x^2)到上边界1，因此积分化为∫_0^1 dx ∫_{√(x-x^2)}^1 xy dy。
公式：∬_{D1} xy dσ = ∫_0^1 dx ∫_{√(x-x^2)}^1 xy dy
提示：注意x的范围：由x^2+y^2≥x且y≥0，当x∈[0,1]时，x-x^2≥0，故下边界有效。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
先对y积分：∫_{√(x-x^2)}^1 xy dy = x * [y^2/2]_{√(x-x^2)}^1 = x/2 * (1 - (x-x^2)) = x/2 * (1 - x + x^2)。
公式：∫_{√(x-x^2)}^1 xy dy = x/2 (1 - x + x^2)
提示：积分时x视为常数。
步骤 4/5
目标：计算外层积分
外层积分：∫_0^1 x/2 (1 - x + x^2) dx = 1/2 ∫_0^1 (x - x^2 + x^3) dx = 1/2 [x^2/2 - x^3/3 + x^4/4]_0^1 = 1/2 (1/2 - 1/3 + 1/4) = 1/2 * 5/12 = 5/24。
公式：∫_0^1 x/2 (1 - x + x^2) dx = 5/24
提示：注意计算多项式积分。
步骤 5/5
目标：乘以对称性倍数得到最终结果
整个区域积分为4倍第一象限积分：4 * 5/24 = 5/6。
公式：∬_D |xy| dσ = 4 * 5/24 = 5/6
提示：检查对称性是否完全利用。

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