kaoyan1basic 高等数学 第594题
📝 题目
## 第594题 (高等数学 - 填空题)
直线 $\displaystyle L: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=z+1$ 绕直线 $L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 旋转一圈所产生的曲面方程是
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$(x-2)^2+(y-3)^2=5(z+1)^2$
解析：
步骤1：直线$L_1$为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，即$z$轴方向的直线，过点$(2,3,0)$。
步骤2：直线$L$上一点$M(3,1,-1)$，方向向量$\boldsymbol{s}=(2,3,1)$。旋转曲面为单叶双曲面，母线上任一点到轴的距离等于旋转半径。
步骤3：设$L$上点$(3+2t,1+3t,-1+t)$，到轴$L_1$的距离平方为$(3+2t-2)^2+(1+3t-3)^2=(1+2t)^2+(-2+3t)^2$，该点$z$坐标为$-1+t$，旋转曲面方程满足$(x-2)^2+(y-3)^2=(1+2t)^2+(-2+3t)^2$，且$z=-1+t$，消去$t$得$(x-2)^2+(y-3)^2=5(z+1)^2$。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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